Η λύση βρέθηκε εδώ:
H επίλυση διαφορικών εξισώσεων δεν είναι σαν την επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων. Δεν είναι μόνο οι λύσεις τους πολλές φορές ασαφείς, αλλά το αν οι λύσεις είναι μοναδικές ή ακόμα και αν υπάρχουν είναι επίσης αξιοσημείωτα θέματα ενδιαφέροντος.
Για πρώτης τάξης προβλήματα αρχικών τιμών, το θεώρημα ύπαρξης λύσης Peano δίνει ένα σύνολο περιστάσεων στις οποίες υπάρχει μια λύση. Δεδομένου οποιοδήποτε σημείου ( a , b ) {\displaystyle (a,b)}
στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, ορίζουν κάποια ορθογώνια περιοχή Z {\displaystyle Z}
, έτσι ώστε Z = [ l , m ] × [ n , p ] {\displaystyle Z=[l,m]\times [n,p]}
και ( a , b ) {\displaystyle (a,b)}
να είναι στο εσωτερικό του Z {\displaystyle Z}
. Εάν μας δίνεται μια διαφορική εξίσωση d y d x = g ( x , y ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=g(x,y)}
με την προϋπόθεση ότι y = b {\displaystyle y=b}
όταν x = a {\displaystyle x=a}
, τότε υπάρχει σε τοπικό επίπεδο μια λύση, αν g ( x , y ) {\displaystyle g(x,y)}
και ∂ g ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x}}}
είναι αμφότερα συνεχείς στο Z {\displaystyle Z}
. Αυτή η λύση υφίσταται σε κάποιο διάστημα με το κέντρο του στο a. Η λύση μπορεί να μην είναι μοναδική. Ωστόσο, αυτό μας βοηθά μόνο με τα πρώτης τάξης προβλήματα αρχικής τιμής. Ας υποθέσουμε ότι είχαμε ένα γραμμικό πρόβλημα αρχικών τιμών της νιοστής σειράς:
f n ( x ) d n y d x n + ⋯ + f 1 ( x ) d y d x + f 0 ( x ) y = g ( x ) {\displaystyle f_{n}(x){\frac {\mathrm {d} ^{n}y}{\mathrm {d} x^{n}}}+\cdots +f_{1}(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+f_{0}(x)y=g(x)}
έτσι ώστε
y ( x 0 ) = y 0 , y ′ ( x 0 ) = y 0 ′ , y ″ ( x 0 ) = y 0 ″ , ⋯ {\displaystyle y(x_{0})=y_{0},y'(x_{0})=y'_{0},y''(x_{0})=y''_{0},\cdots }
Για κάθε μη μηδενικά f n ( x ) {\displaystyle f_{n}(x)}
, αν { f 0 , f 1 , ⋯ } {\displaystyle \{f_{0},f_{1},\cdots \}}
και g {\displaystyle g}
είναι συνεχή σε κάποιο διάστημα που περιέχει το x 0 {\displaystyle x_{0}}
,η y {\displaystyle y}
είναι υπάρχει και είναι μοναδικό.